Lognormalverteilung

Besitzt ein nicht-negatives Risiko X eine Lognormalverteilung, so ist das logarithmierte Risiko Y = ln(X) normalverteilt. Die Gauß’sche Normalverteilung (µ,σ²) ist durch die beiden Parameter µ ∈ ℝ (Erwartungswert) und σ² ∈ ℝ₊ := {x ∈ ℝ | x > 0} (Varianz) charakterisiert. Die Größe σ = √σ² heißt in der Statistik auch Standardabweichung oder Streuung. Bezeichnet m = E(X) den Erwartungswert von X und s² = Var(X) die Varianz von X, so besteht folgende Beziehung zwischen diesen Größen und den Parametern µ und σ²:

Sind umgekehrt die Parameter m und s² gegeben, so lassen sich daraus die ursprünglichen Parameter μ und σ² wie folgt zurückberechnen:

Die Bestimmung des β-Quantils LN_β = LN_β(µ,σ²) der Lognormalverteilung mit den Parametern µ und σ² und zum Niveau β ∈ (0,1) erfolgt über das β-Quantil N_β = N_β(µ,σ²) der Normalverteilung mit den Parametern µ und σ² gemäß

β = P(X ≤ LN_β) = P(ln(X) ≤ ln(LN_β))
= P(ln(X) ≤ N_β),

woraus sich

N_β = ln(LN_β) bzw. LN_β = exp(N_β)

ergibt. Das allgemeine β-Quantil N_β(µ,σ²) der Normalverteilung steht mit dem β-Quantil N_β(0,1) der Standardnormalverteilung (0,1) in folgendem Zusammenhang:

N_β(µ,σ²) = µ + σ · N_β(0,1).

Damit ist das allgemeine β-Quantil der Lognormalverteilung gegeben durch

LN_β(µ,σ²) =exp(N_β(µ,σ²)) = exp(µ + σ · N_β(0,1)).

In den QIS5 Technical Specifications von 2010 fand die Lognormalverteilung Anwendung bei der Berechnung des Solvenzkapitals für das Prämien- und Reserverisiko im Non-Life-Segment (vgl. dort SCR.9.16-SCR.9.18). Entgegen der statistischen Konvention bezeichneten dort die Größen µ und σ² den Mittelwert und die Varianz der Verteilung statt m und s². Zudem beruhte die angesetzte Darstellung des Quantils auf der Setzung m := 1; für eine solche Wahl erhält man nämlich

und damit für das β-Quantil

Dies erklärt unter Verwendung des unter Solvency II vorgegebenen Sicherheitsniveaus β = 0,995 die Berechnungsformel für das SCR Non-Life in den Technical Specifications zu QIS 5 (vgl. QIS5 Technical Specifications, SCR.9.17)

In den Revised Technical Specifications for the Solvency II valuation and Solvency Capital Requirements calculations (Part I) von 2012 sowie in den Technical Specification for the Preparatory Phase (Part I) von 2014 wird die Lognormalverteilung nicht mehr explizit herangezogen. Stattdessen wird der Ansatz über das Lognormalverteilungsquantil durch einen Ansatz auf Basis der dreifachen Standardabweichung ersetzt (siehe dort SCR.9.15-SCR.9.16 bzw. SCR.9.11-SCR.9.12). Dabei ergibt sich das Solvenzkapital des Prämien- und Reserverisikos X nun als 3s·V mit einer positiven Zahl V und der Standardabweichung s des normierten Risikos X / V. Man erhält

also schließlich das Dreifache der Standardabweichung des absoluten Risikos X Durch den synonymen Gebrauch des griechischen Buchstabens σ für den Begriff „Standard­abweichung“, lässt sich dieser Ansatz kurz als 3σ-Formel betiteln. In der zeitlich vorangegangenen technischen Spezifikation zur QIS 5 (in QIS5 Technical Specifications, SCR.9.18) wurde ungeprüft eine gewisse approximative Übereinstimmung des Berechnungsansatzes über das Lognormal­verteilungsquantil und der 3σ-Formel unterstellt, nach der

für σ² = ln(1+s²) gelten sollte, wobei keine konkrete Einschränkung für die Wahl von s ∈ ℝ vorgenommen wurde. Definiert man ρ(s) := LN_0,995(–ln(1+s²)/2,ln(1+s²)) – 1 für s ∈ ℝ₊ , und legt ein geeignetes Intervall I ⊂ ℝ₊ zugrunde, so erhält man

ρ(s) ≈ 3s, für alle s ∈ I.

Die nachstehende Abbildung zeigt den relativen Approximationsfehler für sinnvoll erscheinende Wahlen von s. Man beachte, dass die Approximation den zu approximierenden Wert im Falle positiver Werte übersteigt. Berücksichtigt man, dass ein verteilungsfreier Ansatz keine Grundlage zur Bestimmung eines Sicherheits- bzw. Risikoniveaus liefern kann, und wird gleichzeitig die Einhaltung eines hypothetischen Sicherheitsniveaus strikt gefordert, so liegt es nahe, auch weiterhin von einer nun aber still gestellten Lognormal­verteilungsannahme auszugehen oder aber an einer anderen Stelle ein geeignetes Verteilungs­modell zu unterlegen – obgleich die handlichere Approximationsformel bei der Berechnung des Solvenzkapitals zur Anwendung kommt.